एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}$, $-\hat{j}+\hat{k}$, $3 \hat{i}+9 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं (घन इकाइयों में)।

यदि $a, b, c$ भिन्न धनात्मक संख्याएँ हैं और सदिश $a \hat{\imath} + a \hat{\jmath} + c \hat{k}$,$\hat{\imath} + \hat{k}$ और $c \hat{\imath} + c \hat{\jmath} + b \hat{k}$ एक ही समतल में स्थित हैं,तो

यदि तीन सदिश $2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $3\hat{i}+\lambda\hat{j}+5\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और बिंदु $P_1 = \lambda \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$, $P_2 = \vec{a}-\lambda \vec{b}+3 \vec{c}$, $P_3 = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-\lambda \vec{c}$, और $P_4 = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ समतलीय हैं, तो $\lambda$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $A(1,1,2), B(2,1, p), C(1,0,3)$ और $D(2,2,0)$ समतलीय हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+\beta \hat{j}-\alpha \hat{k}$ और $\vec{c}=-\alpha \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं। यदि $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ है,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ का मान $.....$ है।