एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसके शीर्ष A(-1, 2 | vedclass

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Question

(A) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot ((\vec{AC}) 	imes (\vec{AD}))|$ द्वारा दिया जाता है।सबसे पहले, सदिश

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$-\frac{10}{3}$

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(A) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot ((\vec{AC}) 	imes (\vec{AD}))|$ द्वारा दिया जाता है।सबसे पहले, सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$, $\vec{AC} = (p+1)\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{AD} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$।अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक है: $\begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \ p+1 & -1 & 0 \ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 12p + 8$।दिया है $V = \frac{1}{6} |12p + 8| = \frac{16}{3}$, अतः $|12p + 8| = 32$।स्थिति $1$: $12p + 8 = 32 \implies p = 2$।स्थिति $2$: $12p + 8 = -32 \implies p = -\frac{10}{3}$।विकल्पों के अनुसार, $p = -\frac{10}{3}$ सही है।

एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसके शीर्ष $A(-1, 2, 3)$, $B(3, -2, 1)$, $C(p, 1, 3)$, और $D(-1, -2, 4)$ हैं, का आयतन $\frac{16}{3}$ घन इकाई है। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$[(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] \cdot \vec{d} = \dots$

$(a + b) \cdot (b + c) \times (a + b + c) = $

यदि सदिश $a$,$b$ और $c$ समतलीय हैं,तो $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

$(\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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