एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं,जिनमें से $5$ लोगों की एक समिति बनानी है। यदि किसी भी पुरुष का चयन नहीं किया जाता है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

भिन्न अंकों वाली कितनी $2$-अंकीय संख्याएँ हैं?

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A_1, A_2, ....., A_{11}$ एक टीम के खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, ....., 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने $100$ सोने के सिक्के जीते हैं। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी $A_i$ को अपने टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले। इसके अतिरिक्त,कप्तान $(A_1)$ और उप-कप्तान $(A_2)$ को अपने टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलने चाहिए। इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

यदि कोई व्यक्ति ग्रिड लाइनों पर केवल दाईं ओर या ऊपर की ओर यात्रा कर सकता है,तो बिंदु $A(0,0)$ से बिंदु $B(3,3)$ तक जाने के संभावित कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$5$ लड़कियों और $7$ लड़कों की एक कक्षा पर विचार करें। यदि दो विशिष्ट लड़के $A$ और $B$ एक ही टीम के सदस्य बनने से इनकार करते हैं,तो इस कक्षा से $2$ लड़कियों और $3$ लड़कों की कितनी अलग-अलग टीमें बनाई जा सकती हैं?