एक क्लब में $7$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं। इन व्यक्तियों का उपयोग करके एक समिति बनाई जाती है। $6$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी ताकि कम से कम एक महिला हो?

एक छात्र को एक परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है

$10$ सफेद,$9$ हरे और $7$ नीली गेंदों में से एक या अधिक गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

एक फुटबॉल चैंपियनशिप में $153$ मैच खेले गए। प्रत्येक टीम ने एक-दूसरे के साथ एक मैच खेला। चैंपियनशिप में भाग लेने वाली टीमों की संख्या है

एक प्रश्न पत्र में $2$ भाग हैं,भाग $A$ और भाग $B$,जिनमें प्रत्येक में $10$ प्रश्न हैं। यदि एक छात्र को भाग $A$ से $8$ प्रश्न और भाग $B$ से $5$ प्रश्न चुनने हैं,तो वह कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

यदि $x, y$ और $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तो $^x{C_r} + ^x{C_{r-1}} \cdot ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} \cdot ^y{C_2} + \dots + ^y{C_r} = $