एक प्रश्न पत्र में तीन खंड हैं,प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को किसी भी खंड को छोड़े बिना इस प्रश्न पत्र से केवल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}}$,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} = .....$

मान लीजिए $n \geq 3$ एक पूर्णांक है। $(1, 2, \ldots, n)$ के क्रमचय $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ के लिए,हम $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ को परिभाषित करते हैं। मान लीजिए $S_\sigma$ समीकरण $f_\sigma(x) = 0$ के मूलों का योग है और $S$ उन सभी क्रमचयों $\sigma$ पर $S_\sigma$ के मानों का योग दर्शाता है। तो,

विभिन्न आकारों के $10$ लाल और $5$ पीले गुलाब हैं। यदि $x$ इन सभी फूलों से बनाई जा सकने वाली मालाओं की संख्या है ताकि कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न आएं और $y$ इन सभी फूलों से बनी मालाओं की संख्या है ताकि सभी लाल गुलाब एक साथ आएं,तो $\frac{2(x-y)}{10!}=$

Rs. $100$ के $4$ नोट और Rs. $1$,Rs. $2$,Rs. $5$,Rs. $20$ और Rs. $50$ के एक-एक नोट को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित करना है कि प्रत्येक बच्चे को Rs. $100$ का कम से कम एक नोट मिले। यह वितरण कुल कितने तरीकों से किया जा सकता है?