समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 40\}$ से तीन भिन्न संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। यदि चुनी गई संख्याओं के बढ़ते $G.P.$ में होने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान . . . . . . है।

बिंदुओं $(x, y)$ के समुच्चय $A_n$ पर विचार करें जैसे कि $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,जहाँ $n, x, y$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $S_n$ उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो $A_n$ के कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए कि हम $S_n$ से यादृच्छिक रूप से एक रेखा $l$ चुनते हैं। मान लीजिए $P_n$ वह प्रायिकता है कि $l$,वृत्त $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ की स्पर्शरेखा है। तो,सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ है

$2$ अलमारियाँ हैं। एक अलमारी में $5$ भौतिकी और $3$ जीव विज्ञान की पुस्तकें हैं और दूसरी में $4$ भौतिकी और $2$ जीव विज्ञान की पुस्तकें हैं। तो भौतिकी की एक पुस्तक निकालने की प्रायिकता क्या है?

यदि $P(A') + P(B') P(A \cup B) = 0.7$ है,तो $P(A') + P(B')$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीन पासों को एक बार फेंकने पर,योग कम से कम $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?