गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$,$a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ $(n \geq 0)$ द्वारा परिभाषित हैं,तो $a_n=$

मान लीजिए कि $P(n)$ यह कथन दर्शाता है कि $n^2 + n$ विषम है। यह देखा गया है कि $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$। $P(n)$ सभी के लिए सत्य है:

मान लीजिए $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ जहाँ $n \in N$ है। तब

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए घातांक नियम $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ को सिद्ध कीजिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ सभी $n \in N$ के लिए।

किन प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए,असमिका $2^n > n+1$ मान्य है?