सारणिकों के गुणों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $1$: तीसरे स्तंभ को समान बनाने के लिए $C_3$ को $C_2$ में जोड़ें।
$C_2 \rightarrow C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha+\beta+\gamma & \beta+\gamma \\ \beta & \alpha+\beta+\gamma & \gamma+\alpha \\ \gamma & \alpha+\beta+\gamma & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $2$: $C_2$ से $(\alpha+\beta+\gamma)$ उभयनिष्ठ (common) लें।
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta & 1 & \gamma+\alpha \\ \gamma & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right|$.
चरण $3$: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करें।
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \left|\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \beta+\gamma \\ \beta-\alpha & 0 & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & 0 & \beta-\gamma\end{array}\right|$.
चरण $4$: $C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (\alpha+\beta+\gamma) \cdot (-1) \cdot [(\beta-\alpha)(\beta-\gamma) - (\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)]$.
इस प्रकार,दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।