सदिशों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$.

(N/A) माना $\widehat{OP}$ और $\widehat{OQ}$ इकाई सदिश हैं जो $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $A$ और $B$ कोण बनाते हैं। तब $\angle QOP = A-B$ (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
हम जानते हैं कि $\widehat{OP} = \cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}$ और $\widehat{OQ} = \cos B \hat{i} + \sin B \hat{j}$ है।
अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = |\widehat{OP}| |\widehat{OQ}| \cos(A-B)$।
चूंकि $\widehat{OP}$ और $\widehat{OQ}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\widehat{OP}| = 1$ और $|\widehat{OQ}| = 1$ है।
अतः,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos(A-B) \quad \dots(1)$।
घटकों के रूप में,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = (\cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}) \cdot (\cos B \hat{i} + \sin B \hat{j})$ है।
गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos A \cos B + \sin A \sin B \quad \dots(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$।