વિધેય $f(x) = x^{2}$ માટે અંતરાલ $[2, 4]$ માં મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો.

જો $f$ એ વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ દરેક $x \in R$ માટે,તો $x \in (-5, 10)$ માં સમીકરણ $f'(x) = 0$ ના બીજની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધો,આપેલ છે કે $f(2) = f(5) = f(10)$.

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

ધારો કે $f(x)$ અને $g(x)$ એ બે વિધેયો છે જે તમામ $x \ge x_0$ માટે વ્યાખ્યાયિત અને વિકલનીય છે. જો $f(x_0) = g(x_0)$ અને તમામ $x > x_0$ માટે $f'(x) > g'(x)$ હોય,તો:

જો વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માટે રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું હશે?

ધારો કે વિધેય $f:[-7,0] \rightarrow R$ એ $[-7,0]$ પર સતત છે અને $(-7,0)$ પર વિકલનીય છે. જો $f(-7)=-3$ અને તમામ $x \in (-7,0)$ માટે $f'(x) \leq 2$ હોય,તો આવા તમામ વિધેયો $f$ માટે,$f(-1)+f(0)$ એ કયા અંતરાલમાં આવે છે?