अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_{e} x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होने हेतु $c$ का मान क्या है?

यदि $f(x) = \log(\sin x)$,$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ है,तो लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ को संतुष्ट करने वाले $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ का किस अंतराल में एक वास्तविक मूल है?

माध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ के लिए,यदि $f(x) = 1/x$ है,तो $x_1 = ?$

यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $x \in (-5, 10)$ में समीकरण $f'(x) = 0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $f(2) = f(5) = f(10)$ है।