ઉગમબિંદુ પર $\vec{m}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા બિંદુ ડાયપોલના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પૃષ્ઠ માટે ગૌસનો નિયમ ચકાસો.

(N/A) ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર $\vec{m} = m \hat{k}$ મોમેન્ટ ધરાવતો ચુંબકીય ડાયપોલ મૂકેલો છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરના બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ (જ્યાં $OP$ એ $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે) નીચે મુજબ છે:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta})$.
ગોળાકાર સપાટી પરનું ક્ષેત્રફળ ખંડ $d\vec{S} = R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r}$ છે.
હવે,ફ્લક્સ $\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{S}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Phi_B = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta}) \right) \cdot (R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r})$.
કારણ કે $\hat{r} \cdot \hat{r} = 1$ અને $\hat{\theta} \cdot \hat{r} = 0$:
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} 2 \cos \theta \sin \theta d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} (2\pi) \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{2R} \left[ -\frac{\cos(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\mu_0 m}{4R} [-\cos(2\pi) + \cos(0)] = \frac{\mu_0 m}{4R} [-1 + 1] = 0$.
આમ,ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ ચકાસાય છે.