જ્યારે કોઈ પદાર્થ $45^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલા લીસા ઢળતા સમતલ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે સરકે છે,ત્યારે તેને $T$ સમય લાગે છે. જ્યારે તે જ પદાર્થ સમાન ખૂણે અને સમાન અંતર માટે ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે સરકે છે,ત્યારે તેને $pT$ સમય લાગે છે,જ્યાં $p$ એ $1$ કરતા મોટી સંખ્યા છે. પદાર્થ અને ખરબચડા સમતલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક શોધો.

(D) લીસા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $a = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $T$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a T^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{g}{\sqrt{2}} \right) T^2 = \frac{g T^2}{2\sqrt{2}}$.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે:
પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રવેગ $a' = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $a' = g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right)$.
$pT$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = \frac{1}{2} a' (pT)^2 = \frac{1}{2} g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right) p^2 T^2$ છે.
$d$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{g T^2}{2\sqrt{2}} = \frac{g p^2 T^2 (1 - \mu)}{2\sqrt{2}}$
$1 = p^2 (1 - \mu)$
$1 - \mu = \frac{1}{p^2}$
$\mu = 1 - \frac{1}{p^2} = \frac{p^2 - 1}{p^2}$.