निम्नलिखित में से कौन सा $AP$ (समांतर श्रेणी) बनाता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
$(i)$ $11, 22, 33, \ldots$
$(ii)$ $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$
$(iii)$ $2, 2^2, 2^3, 2^4, \ldots$
$(iv)$ $\sqrt{3}, \sqrt{12}, \sqrt{27}, \sqrt{48}, \ldots$

(I, IV) $(i)$ यहाँ,$t_1 = 11, t_2 = 22, t_3 = 33$ है।
$t_2 - t_1 = 22 - 11 = 11$.
$t_3 - t_2 = 33 - 22 = 11$.
चूँकि सार्व अंतर $d = 11$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।
$(ii)$ यहाँ,$t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1}{3}, t_3 = \frac{1}{4}$ है।
$t_2 - t_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$.
$t_3 - t_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ अनुक्रम $2, 4, 8, 16, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 4 - 2 = 2$.
$t_3 - t_2 = 8 - 4 = 4$.
चूँकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iv)$ अनुक्रम $\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots$ है।
$t_2 - t_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_3 - t_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$t_4 - t_3 = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
चूँकि सार्व अंतर $d = \sqrt{3}$ समान है,इसलिए यह $AP$ बनाता है।