નીચેનામાંથી કયું વિધેય વ્યસ્ત વિધેય (invertible function) છે?

વિધેય $y = f(x)$ માટે પ્રતિવિધેય (inverse) હોવાની શરત એ છે કે તે

જો વિધેય $f : R \to R$ એ $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$,જ્યાં $(a > 0, a \neq 1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f^{-1}(x)$ શું થાય?

$f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x) = x^{2} + 4$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત છે અને $f$ નો વ્યસ્ત $f^{-1}(y) = \sqrt{y - 4}$ છે,જ્યાં $R_{+}$ એ તમામ અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.

ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{1, 3, 5\}$ છે. જો સંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર $R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $R^{-1}$ શોધો.

જો વિધેય $f(x)=x^3+e^{\frac{x}{2}}$ અને $g(x)=f^{-1}(x)$ હોય,તો $g^{\prime}(1)$ ની કિંમત શોધો.