निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

फलन $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$0 \leq x \leq 1$ का ग्राफ नीचे दिखाया गया है। $f_1(x) = f(x)$,$f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$,$n \geq 1$ के लिए परिभाषित करें।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0$
$II.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \frac{1}{2}$
$III.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1$
$IV.$ ऐसे अनंत $x \in [0, 1]$ हैं जिनके लिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

समुच्चय $\{x, y\}$ से $\{x, y\}$ तक एक संबंध $R$ के सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) होने की प्रायिकता क्या है?

$f(x) = \frac{x}{\ln x}$ और $g(x) = \frac{\ln x}{x}$ है। तो $CORRECT$ कथन की पहचान करें।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक ऐसा फलन है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) > 0$ है,और सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x) f(y)$ है। मान लीजिए वास्तविक संख्याएँ $a_1, a_2, \ldots, a_{50}$ एक समांतर श्रेणी में हैं। यदि $f(a_{31})=64 f(a_{25})$ है,और $\sum_{i=1}^{50} f(a_i)=3(2^{25}+1)$ है,तो $\sum_{i=6}^{30} f(a_i)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$ है। तो ऐसे संभावित फलनों $f : A \rightarrow A$ की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक $m, n \in A$ के लिए जहाँ $m \cdot n \in A$ हो,$f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ हो।