ઘન શોધ્યા વગર,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ ના અવયવ પાડો.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
જો $a+b+c = 0$ હોય,તો $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ થાય.
ધારો કે $a = (x-y)$,$b = (y-z)$,અને $c = (z-x)$.
હવે,તેમનો સરવાળો $a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = x - x + y - y + z - z = 0$ મળે છે.
અહીં સરવાળો $0$ હોવાથી,આપણે $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
તેથી,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3} = 3(x-y)(y-z)(z-x)$.