घनों का परिकलन किए बिना,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ का गुणनखंडन कीजिए।

(D) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ होती है।
यदि $a+b+c = 0$ हो,तो $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ होता है।
माना $a = (x-y)$,$b = (y-z)$,और $c = (z-x)$ है।
अब,इनका योग $a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = x - x + y - y + z - z = 0$ है।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए हम सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3} = 3(x-y)(y-z)(z-x)$।