निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
यदि $A, B, C, D$ चार ऐसे बिंदु हैं कि $\angle BAC = 30^{\circ}$ और $\angle BDC = 60^{\circ}$ है, तो $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है।
यदि $A, B, C, D$ चार ऐसे बिंदु हैं कि $\angle BAC = 30^{\circ}$ और $\angle BDC = 60^{\circ}$ है, तो $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है।
(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य:
ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार, वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यदि $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र होता, तो चाप $BC$ द्वारा केंद्र $D$ पर अंतरित कोण $(\angle BDC)$, परिधि पर स्थित कोण $(\angle BAC)$ का दोगुना होना चाहिए था।
यहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होना चाहिए।
हालाँकि, $\angle BDC = 60^{\circ}$ होना $D$ के केंद्र होने के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। ऐसे अनंत बिंदु $D$ हो सकते हैं जिनके लिए $\angle BDC = 60^{\circ}$ हो (उदाहरण के लिए, $B, C$ और $D$ से गुजरने वाले वृत्त के दीर्घ चाप पर स्थित कोई भी बिंदु)।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि $D$, $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ही हो।
औचित्य:
ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार, वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
यदि $D$, $A, B$ और $C$ से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र होता, तो चाप $BC$ द्वारा केंद्र $D$ पर अंतरित कोण $(\angle BDC)$, परिधि पर स्थित कोण $(\angle BAC)$ का दोगुना होना चाहिए था।
यहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\angle BDC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होना चाहिए।
हालाँकि, $\angle BDC = 60^{\circ}$ होना $D$ के केंद्र होने के लिए आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। ऐसे अनंत बिंदु $D$ हो सकते हैं जिनके लिए $\angle BDC = 60^{\circ}$ हो (उदाहरण के लिए, $B, C$ और $D$ से गुजरने वाले वृत्त के दीर्घ चाप पर स्थित कोई भी बिंदु)।
अतः, यह आवश्यक नहीं है कि $D$, $A, B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ही हो।
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निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
आकृति में,यदि $AOB$ एक व्यास है और $\angle ADC = 120^{\circ}$ है,तो $\angle CAB = 30^{\circ}$ होगा।
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Medium
View Solutionआकृति में,$O$ वृत्त का केंद्र है और $\angle BCO = 30^{\circ}$ है। $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए।
Difficult
View Solution$AC$ और $BD$ एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $ABCD$ एक आयत है।
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Difficult
View Solutionबताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ एक समतल में उन सभी बिंदुओं का संग्रह,जो समतल के एक निश्चित बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित हैं,एक वृत्त कहलाता है।
$(2)$ केंद्र और वृत्त पर किसी भी बिंदु को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या कहलाता है।
$(1)$ एक समतल में उन सभी बिंदुओं का संग्रह,जो समतल के एक निश्चित बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित हैं,एक वृत्त कहलाता है।
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