निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
आकृति में,यदि $AOB$ एक व्यास है और $\angle ADC = 120^{\circ}$ है,तो $\angle CAB = 30^{\circ}$ होगा।
आकृति में,यदि $AOB$ एक व्यास है और $\angle ADC = 120^{\circ}$ है,तो $\angle CAB = 30^{\circ}$ होगा।
(TRUE) $AOB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है।
चक्रीय चतुर्भुज $ADCB$ पर विचार कीजिए।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle ADC = 120^{\circ}$,अतः $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
चक्रीय चतुर्भुज $ADCB$ पर विचार कीजिए।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle ADC = 120^{\circ}$,अतः $120^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$।
$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB + 150^{\circ} = 180^{\circ}$।
$\angle CAB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
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$(1)$ एक वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा कहा जाता है।
$(2)$ वृत्त के व्यास की लंबाई उसकी त्रिज्या की लंबाई की आधी होती है।
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