int frac{3cos x + 2sin x}{4sin x + 5cos x} dx | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{3\cos x + 2\sin x}{4\sin x + 5\cos x} dx$. अंश को $A(	ext{हर}) + B(	ext{हर का अवकलन})$ के रूप में व्यक्त करते हैं। माना $3\

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$1/41, \log |x|$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{3\cos x + 2\sin x}{4\sin x + 5\cos x} dx$. अंश को $A(	ext{हर}) + B(	ext{हर का अवकलन})$ के रूप में व्यक्त करते हैं। माना $3\cos x + 2\sin x = \lambda(4\sin x + 5\cos x) + \mu(4\cos x - 5\sin x)$. $\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 = 4\lambda - 5\mu$ और $3 = 5\lambda + 4\mu$. इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर: $8 = 16\lambda - 20\mu$ और $15 = 25\lambda + 20\mu$. दोनों को जोड़ने पर $23 = 41\lambda$,अतः $\lambda = 23/41$. $\lambda$ का मान $2 = 4(23/41) - 5\mu$ में रखने पर: $5\mu = 92/41 - 82/41 = 10/41$,अतः $\mu = 2/41$. अतः,$I = \int \frac{\lambda(4\sin x + 5\cos x) + \mu(4\cos x - 5\sin x)}{4\sin x + 5\cos x} dx = \lambda x + \mu \ln |4\sin x + 5\cos x| + c$. $I = \frac{23}{41}x + \frac{2}{41} \ln |4\sin x + 5\cos x| + c = \frac{1}{41} \{23x + 2 \ln |4\sin x + 5\cos x|\} + c$. दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = 1/41$ और $f(x) = \ln |x|$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{3\cos x + 2\sin x}{4\sin x + 5\cos x} dx = A \{23x + 2\ln |4\sin x + 5\cos x|\} + c$ है,तो $A$ और $f(x)$ हैं

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