$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \left\{ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} : a_i, b_i, c_i \in \{ (1+x)^{11} \text{ के विस्तार में द्विपद गुणांक} \} \right\}$ है,तो समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या क्या है ($^9$ में)?

मान लीजिए $(1+x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} c_{r} x^{r}$ और $(1+x)^{7} = \sum_{r=0}^{7} d_{r} x^{r}$ है। यदि $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r}$ और $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1}$ है, तो $\frac{P}{Q}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$z \in \mathbb{C}$ के लिए,यदि $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ और $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ है,तो $k =$

योगफल ${C_1} + 2{C_2} + 3{C_3} + 4{C_4} + .... + n{C_n}$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए ${ }^{n} C_{r}$ व्यंजक $(1+ x )^{ n }$ में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक दर्शाता है। यदि $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right){ }^{10} C _{ k }=\alpha \cdot 3^{10}+\beta \cdot 2^{10},$ जहाँ $\alpha, \beta \in R,$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ....... है।