$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ ની કિંમત શોધો.

${ }^{10} C_{1}+{ }^{10} C_{2}+{ }^{10} C_{3}+\ldots+{ }^{10} C_{9}$ ની કિંમત શું છે?

જો $n$ એક ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $\sum_{r=1}^n r \cdot C_r =$

$z \in \mathbb{C}$ માટે,જો $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ અને $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ હોય,તો $k =$

$(3x-1)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ (જ્યાં $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) ના સહગુણકોનો સરવાળો નીચેનામાંથી કયા વિસ્તરણના દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા જેટલો છે?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$

$\mathop \sum \limits_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ ની કિંમત શોધો.