$(a)$ તે જાણીતું છે કે હવા ની ઘનતા $\rho$ ઊંચાઈ $y$ સાથે $\rho = \rho_{0} e^{-y / y_{0}}$ મુજબ ઘટે છે,જ્યાં $\rho_{0} = 1.25 \; kg \, m^{-3}$ એ સમુદ્ર સપાટી પરની ઘનતા છે અને $y_{0}$ એ અચળાંક છે. આ ઘનતાના ફેરફારને વાતાવરણનો નિયમ કહેવામાં આવે છે. વાતાવરણનું તાપમાન અચળ રહે છે (સમતાપી સ્થિતિ) તેમ ધારીને આ નિયમ મેળવો. એમ પણ ધારો કે $g$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
$(b)$ $1425 \; m^{3}$ કદનો એક મોટો $He$ ફુગ્ગો $400 \; kg$ નો ભાર ઊંચકવા માટે વપરાય છે. ધારો કે ફુગ્ગો ઉપર જાય ત્યારે તેની ત્રિજ્યા અચળ રહે છે. તે કેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે?
[$y_{0} = 8000 \; m$ અને $\rho_{He} = 0.18 \; kg \, m^{-3}$ લો]

(N/A) ધારો કે $y$ ઊંચાઈએ દબાણ $P$ છે. ઊંચાઈમાં નાના ફેરફાર $dy$ માટે દબાણમાં ફેરફાર $dP = -\rho g dy$ છે.
વાતાવરણ સમતાપી હોવાથી,$PV = nRT$,જે સૂચવે છે કે $P = \frac{\rho RT}{M}$,જ્યાં $M$ એ હવાનું મોલર દળ છે.
આમ,$\rho = \frac{PM}{RT}$. આને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $dP = -\frac{PM}{RT} g dy$,અથવા $\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy$.
$y=0$ (જ્યાં $P=P_{0}$) થી $y$ (જ્યાં $P=P$) સુધી સંકલન કરતા: $\ln(\frac{P}{P_{0}}) = -\frac{Mg}{RT} y$.
તેથી,$P = P_{0} e^{-y/y_{0}}$,જ્યાં $y_{0} = \frac{RT}{Mg}$. અચળ તાપમાને $\rho \propto P$ હોવાથી,$\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}}$.
$(b)$ ફુગ્ગો ત્યાં સુધી ઉપર જાય છે જ્યાં સુધી તેની ઘનતા $\rho$ આસપાસની હવાની ઘનતા જેટલી ન થાય.
ફુગ્ગાની સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = m_{payload} + m_{He} = 400 + (1425 \times 0.18) = 400 + 256.5 = 656.5 \; kg$.
ફુગ્ગાની ઘનતા $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{656.5}{1425} \approx 0.4607 \; kg \, m^{-3}$.
વાતાવરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}} \implies 0.4607 = 1.25 e^{-y/8000}$.
$\ln(\frac{0.4607}{1.25}) = -\frac{y}{8000} \implies \ln(0.36856) = -\frac{y}{8000}$.
$-0.998 \approx -\frac{y}{8000} \implies y \approx 8000 \; m = 8 \; km$.