નળાકાર પાત્રમાં રહેલા એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે આકૃતિમાં દર્શાવેલ $P-V$ આલેખનો માર્ગ વિચારો. આ પ્રક્રિયા $PV^{1/2} = \text{અચળ}$ ને અનુસરે છે.
$(a)$ વાયુને સ્થિતિ $1$ થી સ્થિતિ $2$ પર લઈ જવા માટે થતું કાર્ય શોધો.
$(b)$ જો $V_2 = 2V_1$ હોય, તો તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2}$ કેટલો થશે?
$(c)$ $T$ તાપમાને એક મોલ વાયુની આંતરિક ઊર્જા $\frac{3}{2}RT$ છે. વાયુને સ્થિતિ $1$ થી સ્થિતિ $2$ પર લઈ જવા માટે આપવી પડતી ઉષ્મા શોધો.

(N/A) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^n = K$ માં થતું કાર્ય $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $n = 1/2$. તેથી, $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1/2 - 1} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{-1/2} = 2(P_2V_2 - P_1V_1)$.
$P_1V_1^{1/2} = P_2V_2^{1/2}$ હોવાથી, $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{1/2}$ મળે.
આમ, $W = 2[P_1(V_1/V_2)^{1/2}V_2 - P_1V_1] = 2P_1V_1[(V_2/V_1)^{1/2} - 1]$.
$(b)$ આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = RT$ ($1$ મોલ માટે) નો ઉપયોગ કરતા, $P = RT/V$.
$PV^{1/2} = K$ માં કિંમત મૂકતા, $(RT/V)V^{1/2} = K$, તેથી $TV^{-1/2} = \text{અચળ}$.
તેથી, $T_1V_1^{-1/2} = T_2V_2^{-1/2} \implies \frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{V_2})^{1/2}$.
$V_2 = 2V_1$ આપેલ હોવાથી, $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{2V_1})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1)$.
$T_2 = \sqrt{2}T_1$ હોવાથી, $\Delta U = \frac{3}{2}R(\sqrt{2}T_1 - T_1) = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$W = 2(P_2V_2 - P_1V_1) = 2R(T_2 - T_1) = 2RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1) + 2RT_1(\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.