$^nC_r \div ^nC_{r-1} = $

एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं। $5$ लोगों की एक समिति बनानी है। यदि कम से कम एक महिला का चयन किया जाना है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

एक ग्राहक बैंक में ऑटोमैटिक टेलर मशीन ($A$.$T$.$M$.) के लिए $4$-अंकीय कोड भूल जाता है। हालाँकि,उसे याद है कि यह कोड $3, 5, 6$ और $9$ अंकों से बना है। सही कोड प्राप्त करने के लिए आवश्यक प्रयासों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए।

अंकों $4, 5, 6, 7, 8$ को हर संभव क्रम में लिखा गया है। $56000$ से बड़ी संख्याओं की संख्या है

$16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है यदि $2$ विशेष खिलाड़ियों को शामिल किया जाना है और $1$ विशेष खिलाड़ी को बाहर रखा जाना है?

एक छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या क्या है?