$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज पर व्यवस्थित किया जाना है। यदि उनमें से दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में न बैठें,तो व्यवस्थाओं की कुल संख्या क्या होगी?

$^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = $

प्लस $2$ कोर्स के प्रथम वर्ष के प्रत्येक अनुभाग में ठीक $40$ छात्र हैं। यदि कुल $5$ अनुभाग हैं,तो प्रत्येक अनुभाग से $1$ छात्र लेते हुए,$4$ छात्र प्रतिनिधियों का एक समूह कितनी तरह से चुना जा सकता है?

एक निश्चित परीक्षा में,${a_i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, 3, ..., k$ है। किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए। दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या है:

$223355888$ संख्या के अंकों को पुनर्व्यवस्थित करके कितनी अलग-अलग नौ-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,ताकि विषम अंक सम स्थानों पर हों?

$3, 4, 5$ और $6$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई सभी $4-$अंकीय संख्याओं के इकाई के स्थान के अंकों का योग क्या है?