frac{{frac{1}{2} cdot frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{2 \cdot 2}}}{{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}}$ द्वारा दिया गया है।घनों के योग के सूत्र का उपयोग

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$\frac{n}{{n + 1}}$

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(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{2 \cdot 2}}}{{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}}$ द्वारा दिया गया है।घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$,हमें प्राप्त होता है:$T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2}} = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\frac{n^2(n + 1)^2}{4}}} = \frac{1}{n(n + 1)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$.$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$.योग का विस्तार करने पर: $S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ प्राप्त होता है।

$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ पद} =$

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