$AB$ एक वृत्त का व्यास है और $AC$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है,जहाँ $\angle BAC = 30^{\circ}$ है। $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बढ़ाई गई $AB$ को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $BC = BD$ है।

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$2$. $\triangle ABC$ में,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$।
$3$. स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में बने कोण के बराबर होता है,इसलिए $\angle BCD = \angle BAC = 30^{\circ}$।
$4$. $\triangle BCD$ में,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
$5$. $\triangle BCD$ में,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$।
$6$. यहाँ $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ है,अतः $\triangle BCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए $BC = BD$।