$AB$ एक रेखाखंड है और $P$ इसका मध्य-बिंदु है। $D$ और $E$ रेखाखंड $AB$ के एक ही ओर स्थित बिंदु इस प्रकार हैं कि $\angle BAD = \angle ABE$ और $\angle EPA = \angle DPB$ है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ $AD = BE$
$(i)$ $\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ $AD = BE$
(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore AP = BP$
$\angle EPA = \angle DPB$ [दिया है]
दोनों पक्षों में $\angle EPD$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
$\Rightarrow \angle APD = \angle BPE$
$(i)$ $\Delta DAP$ और $\Delta EBP$ में:
$AP = BP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle PAD = \angle PBE$ [दिया है कि $\angle BAD = \angle ABE$]
$\angle APD = \angle BPE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ चूँकि $\Delta DAP \cong \Delta EBP$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$\Rightarrow AD = BE$
$\therefore AP = BP$
$\angle EPA = \angle DPB$ [दिया है]
दोनों पक्षों में $\angle EPD$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle EPA + \angle EPD = \angle DPB + \angle EPD$
$\Rightarrow \angle APD = \angle BPE$
$(i)$ $\Delta DAP$ और $\Delta EBP$ में:
$AP = BP$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$\angle PAD = \angle PBE$ [दिया है कि $\angle BAD = \angle ABE$]
$\angle APD = \angle BPE$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta DAP \cong \Delta EBP$
$(ii)$ चूँकि $\Delta DAP \cong \Delta EBP$,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$:
$\Rightarrow AD = BE$
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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$(ii)$ $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
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$(ii)$ $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
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$(ii)$ $AO$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
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