रेखाखंड $AB$ दूसरे रेखाखंड $CD$ के समांतर है। $O$,$AD$ का मध्य-बिंदु है (चित्र देखें)। दर्शाइए कि $(i)$ $\Delta AOB \cong \Delta DOC$ $(ii)$ $O$,$BC$ का भी मध्य-बिंदु है।
$(i)$ $\Delta AOB$ और $\Delta DOC$ पर विचार करें।
$\angle OAB = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AD$ एक तिर्यक रेखा है)
$\angle AOB = \angle DOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$OA = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AD$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta AOB \cong \Delta DOC$,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा,
$OB = OC$
अतः,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\angle OAB = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AD$ एक तिर्यक रेखा है)
$\angle AOB = \angle DOC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$OA = OD$ (दिया है,क्योंकि $O$,$AD$ का मध्य-बिंदु है)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta AOB \cong \Delta DOC$ है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta AOB \cong \Delta DOC$,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा,
$OB = OC$
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$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle B = \angle C$ (क्योंकि $AB = AC$)
और $\angle ADB = \angle ADC$
अतः,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
इसलिए,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
उपरोक्त तर्कों में क्या त्रुटि है?
$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle B = \angle C$ (क्योंकि $AB = AC$)
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