$\Delta ABC$ में,$AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है (आकृति देखें)। दर्शाइए कि $\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है।
(N/A) दिया है: $AD$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $BD = CD$ और $\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ है।
$\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ (दिया है)
$BD = CD$ (चूंकि $AD$,$BC$ का समद्विभाजक है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AB = AC$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADB = \angle ADC = 90^o$ (दिया है)
$BD = CD$ (चूंकि $AD$,$BC$ का समद्विभाजक है)
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
इस प्रकार,$AB = AC$ है।
चूंकि $\Delta ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle B = \angle C$ (क्योंकि $AB = AC$)
और $\angle ADB = \angle ADC$
अतः,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
इसलिए,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
उपरोक्त तर्कों में क्या त्रुटि है?
$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
$AB = AC$ (दिया है)
$\angle B = \angle C$ (क्योंकि $AB = AC$)
और $\angle ADB = \angle ADC$
अतः,$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ $(AAS)$
इसलिए,$\angle BAD = \angle CAD$ $(CPCT)$
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