$\Delta ABC$ और $\Delta DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष $A$ और $D$ भुजा $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं (आकृति देखें)। यदि $AD$ को बढ़ाने पर वह $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि:
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।

(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ]
$BD = CD$ [दिया है]
$\therefore \Delta ABD \cong \Delta ACD$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$(ii)$ $\Delta ABP$ और $\Delta ACP$ में:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle BAP = \angle CAP$ [चूँकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$,उनके संगत भाग बराबर हैं]
$AP = AP$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta ABP \cong \Delta ACP$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम]
$(iii)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,उनके संगत भाग सर्वांगसम हैं।
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CAP$,अतः $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
साथ ही,$\Delta BDP$ और $\Delta CDP$ में:
$BD = CD$ [दिया है]
$DP = DP$ [उभयनिष्ठ]
$BP = CP$ [चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,$CPCT$ द्वारा $BP = CP$]
$\therefore \Delta BDP \cong \Delta CDP$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम]
$\Rightarrow \angle BDP = \angle CDP$,अतः $AP$,$\angle D$ का समद्विभाजक है।
$(iv)$ चूँकि $\Delta ABP \cong \Delta ACP$,अतः $\angle APB = \angle APC$ [$CPCT$ द्वारा]।
चूँकि $\angle APB + \angle APC = 180^\circ$ [रैखिक युग्म],
अतः $\angle APB = \angle APC = 90^\circ$।
साथ ही $BP = CP$ [$CPCT$ द्वारा]।
अतः $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।