$A, B$ અને $C$ એ વર્તુળ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
(N/A) આપેલ છે: ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.
સાબિત કરવાનું છે: $AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો સંગામી છે.
રચના: $AB, BC$ અને $CA$ ને જોડો. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $ST$,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક $PM$ અને $CA$ નો લંબદ્વિભાજક $QR$ દોરો. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અસમરેખ હોવાથી,રેખાઓ $ST, PM$ અને $QR$ સમાંતર નથી અને તે કોઈ બિંદુ $O$ પર છેદશે.
સાબિતી:
$1$. બિંદુ $O$ એ $ST$ પર આવેલું છે,જે $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OA = OB$ (રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પરનું કોઈપણ બિંદુ તેના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે) ... $(1)$
$2$. તેવી જ રીતે,$O$ એ $PM$ પર આવેલું છે,જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OB = OC$ ... $(2)$
$3$. વળી,$O$ એ $QR$ પર આવેલું છે,જે $CA$ નો લંબદ્વિભાજક છે,તેથી $OC = OA$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $OA = OB = OC = r$ મળે છે (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે).
આ સૂચવે છે કે $O$ એ $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો એક અનન્ય બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) પર છેદતા હોવાથી,$AB, BC$ અને $CA$ ના લંબદ્વિભાજકો બિંદુ $O$ પર સંગામી હોવા જોઈએ.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$AOB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $C, D, E$ એ અર્ધવર્તુળ પરના કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ છે. $\angle ACD + \angle BED$ નું મૂલ્ય શોધો.
Difficult
View Solutionવર્તુળના સમતલમાં આવેલું એક બિંદુ જે વર્તુળના દરેક બિંદુથી સમાન અંતરે હોય,તેને વર્તુળનું ........ કહેવામાં આવે છે.
Easy
View Solutionખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
Easy
View Solutionસાબિત કરો કે ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાનો દ્વિભાજક અને તેની સામેની બાજુનો લંબદ્વિભાજક જો એકબીજાને છેદે,તો તેઓ ત્રિકોણના પરિવર્તુળ પર છેદશે.
Difficult
View Solutionજો ત્રિકોણની બે બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળો દોરવામાં આવે,તો સાબિત કરો કે આ વર્તુળોનું છેદબિંદુ ત્રીજી બાજુ પર આવેલું છે.
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo