$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $AB = AC$ है और कोण $C$ का समद्विभाजक भुजा $AB$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $AC + AD = BC$ है।

(N/A) दिया है: एक समकोण त्रिभुज $ABC$ जिसमें $AB = AC$ है और $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $AC + AD = BC$.
रचना: $DE \perp BC$ खींचिए।
उपपत्ति: समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$AB = AC$ (दिया है)।
चूंकि $BC$ कर्ण है,$\angle A = 90^{\circ}$ है।
$\triangle DAC$ और $\triangle DEC$ में:
$\angle DAC = \angle DEC = 90^{\circ}$ (दिया है और रचना से)।
$\angle ACD = \angle ECD$ (चूंकि $CD$,$\angle C$ का समद्विभाजक है)।
$CD = CD$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle DAC \cong \triangle DEC$ है।
अतः,$AD = DE$ और $AC = CE$ ($CPCT$ से)।
$\triangle ABC$ में,चूंकि $AB = AC$ है,इसलिए $\angle B = \angle ACB$ है। चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,$\angle B + \angle ACB = 90^{\circ}$,इसलिए $2\angle B = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle B = 45^{\circ}$।
$\triangle DEB$ में,$\angle DEB = 90^{\circ}$ और $\angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\angle EDB = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle EDB = \angle B = 45^{\circ}$ है,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी: $DE = BE$।
चूंकि $AD = DE$ और $DE = BE$ है,इसलिए $AD = BE$ है।
अब,$BC = CE + BE$ है।
$CE = AC$ और $BE = AD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BC = AC + AD$ प्राप्त होता है।
अतः,$AC + AD = BC$ सिद्ध हुआ।