$ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = AC$ અને ખૂણા $C$ નો દ્વિભાજક બાજુ $AB$ ને $D$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AC + AD = BC$.

(N/A) આપેલ છે: એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ જેમાં $AB = AC$ અને $CD$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AC + AD = BC$.
રચના: $DE \perp BC$ દોરો.
સાબિતી: કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$AB = AC$ (આપેલ છે).
$BC$ કર્ણ હોવાથી,$\angle A = 90^{\circ}$.
$\triangle DAC$ અને $\triangle DEC$ માં:
$\angle DAC = \angle DEC = 90^{\circ}$ (આપેલ અને રચના મુજબ).
$\angle ACD = \angle ECD$ ($CD$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક હોવાથી).
$CD = CD$ (સામાન્ય બાજુ).
$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle DAC \cong \triangle DEC$.
તેથી,$AD = DE$ અને $AC = CE$ ($CPCT$ મુજબ).
$\triangle ABC$ માં,$AB = AC$ હોવાથી,$\angle B = \angle ACB$. $\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle B + \angle ACB = 90^{\circ}$,તેથી $2\angle B = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle B = 45^{\circ}$.
$\triangle DEB$ માં,$\angle DEB = 90^{\circ}$ અને $\angle B = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\angle EDB = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}$.
$\angle EDB = \angle B = 45^{\circ}$ હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય: $DE = BE$.
$AD = DE$ અને $DE = BE$ હોવાથી,$AD = BE$ મળે.
હવે,$BC = CE + BE$.
$CE = AC$ અને $BE = AD$ મૂકતા,આપણને $BC = AC + AD$ મળે.
આમ,$AC + AD = BC$ સાબિત થાય છે.