$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A$ और $B$ से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय (concyclic) हैं।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $A$ और $B$ से गुजरने वाला एक वृत्त $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।
$1$. चूंकि $ABQP$ एक चक्रीय चतुर्भुज है,भुजा $AP$ को $D$ तक बढ़ाने पर बना बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।
माना $\angle QPD$ बिंदु $P$ पर बहिष्कोण है। अतः,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है। समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ तथा तिर्यक रेखा $BC$ के लिए,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोण)।
$3$. चूंकि $\angle QPD = \angle ABQ$ (चक्रीय चतुर्भुज $ABQP$ के गुणधर्म से) और हम जानते हैं कि $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए हम $\angle ABQ$ के स्थान पर $\angle QPD$ रख सकते हैं।
$4$. अतः,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. चूंकि चतुर्भुज $PDCQ$ के सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $PDCQ$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
अतः,बिंदु $P, Q, C$ और $D$ चक्रीय हैं।