$P, Q, R$ અને $S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જેમાં $AC = BD$ છે. સાબિત કરો કે $PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. એટલે કે,$PQ$ એ $AB$ અને $BC$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
અને $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel SR$.
$(2)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ = RS$.
કારણ કે $PQ \parallel SR$ અને $PQ = RS$,તેથી $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta DAB$ માં,$SP$ એ $DA$ અને $AB$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
આપેલ છે $AC = BD$ $... (6)$
સમીકરણો $(2), (5)$ અને $(6)$ પરથી,આપણને મળે છે $SP = PQ$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી $(SP = PQ)$,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.