$D, E$ અને $F$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે આ મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ને જોડવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ જે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ને જોડીને બનાવવામાં આવ્યો છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
સાબિતી: $D$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$.
તે જ રીતે,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$.
વળી,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$.
ચતુષ્કોણ $ADFE$ માં,$AD \parallel EF$ અને $AF \parallel DE$,તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (વિકર્ણ $DF$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તે જ રીતે,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle DBE \cong \triangle FED$.
અને $CEFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle ECF \cong \triangle FED$.
તેથી,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$.
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે.