$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P$ તથા $Q$ એ વિકર્ણ $AC$ પરના એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $AP = PQ = QC$ થાય. સાબિત કરો કે $BQ \parallel DP$ અને $BD$ એ $PQ$ ને દુભાગે છે.

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ અને $\triangle CDQ$ માં:
$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle BAP = \angle DCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$.
તેથી, $BP = DQ$ અને $\angle ABP = \angle CDQ$.
$2$. $\triangle ADP$ અને $\triangle CBQ$ માં:
$AD = CB$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle DAP = \angle BCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$.
તેથી, $DP = BQ$ અને $\angle ADP = \angle CBQ$.
$3$. $BP = DQ$ અને $DP = BQ$ હોવાથી, ચતુષ્કોણ $PBQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (સામસામેની બાજુઓ સમાન છે).
તેથી, $BQ \parallel DP$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PBQD$ માં, વિકર્ણો $BD$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી, $BD$ એ $PQ$ ને દુભાગે છે.