$\overline{PA}$ वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु $P$ से $\odot(O, 8)$ पर खींची गई एक स्पर्श रेखा है। यदि $m\angle AOP = 45^\circ$ है,तो $AP = \ldots$

'True' (सत्य) या 'False' (असत्य) लिखें और अपने उत्तर का कारण दें।
एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$,जिसमें $AB = AC$ है,के परिवृत्त (circumcircle) के बिंदु $A$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $BC$ के समांतर है।

$\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ है। एक वृत्त $\Delta ABC$ की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। यदि $AB + AC = 32$ और $BC = 24$ है,तो अंतःवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

एक वृत्त के बाहर स्थित बिंदु $P$ से खींची गई स्पर्श रेखा वृत्त को $Q$ पर स्पर्श करती है। यदि $OP = 29$ और $PQ = 20$ है,तो वृत्त का व्यास क्या होगा?

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

$O$ केंद्र वाले एक वृत्त,चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ को क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ और $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।