lim _{x rightarrow 0} frac{int_{0}^{x^{2}}(si | vedclass

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Question

(A) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt}{x^{3}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ रूप म

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(A) सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt}{x^{3}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ रूप में है।एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज इंटीग्रल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt = (\sin \sqrt{x^{2}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = (\sin x) \cdot (2x)$.हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$.अब,सीमा इस प्रकार होगी:$L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{2x \sin x}{3x^{2}} = \lim _{x ightarrow 0} \frac{2 \sin x}{3x}$.मानक सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$L = \frac{2}{3} 	imes 1 = \frac{2}{3}$.

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx = $

$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ का मान $.......$ है।

यदि $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ जहाँ $f$ एक सतत फलन है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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