f(x) = begin{cases} frac{sin(x-[x])}{x-[x]} & | vedclass

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Question

(C) $x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = \frac{\sin(x+2)}{x+2}$।$x \in (-1, 0)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 0$। $x \in [0

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$(2, 3)$

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(C) $x \in (-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $f(x) = \frac{\sin(x+2)}{x+2}$।$x \in (-1, 0)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 0$। $x \in [0, 1)$ के लिए,$[|x|] = 0$,अतः $f(x) = \max\{2x, 0\} = 2x$।इस प्रकार,$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+2)}{x+2} & , x \in (-2, -1) \ 0 & , x \in (-1, 0) \ 2x & , x \in [0, 1) \ 1 & , 	ext{अन्यथा} \end{cases}$।सांतत्य की जाँच:$x = -1$ पर: $f(-1^+) = 0$,$f(-1^-) = \lim_{x 	o -1^-} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \sin(1) 
eq 0$। असंतत है।$x = 0$ पर: $f(0^-) = 0$,$f(0^+) = 0$,$f(0) = 0$। संतत है।$x = 1$ पर: $f(1^-) = 2(1) = 2$,$f(1^+) = 1$। असंतत है।अतः,$m = 2$ (बिंदु $x = -1, 1$)।अवकलनीयता की जाँच:$x = -1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।$x = 0$ पर: $f'(0^-) = 0$,$f'(0^+) = 2$। अवकलनीय नहीं है।$x = 1$ पर: असंतत है,इसलिए अवकलनीय नहीं है।अतः,$n = 3$ (बिंदु $x = -1, 0, 1$)।क्रमित युग्म $(2, 3)$ है।

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

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मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a_1+a_2+\ldots+a_{100}=0$ है। तो,

बिंदु $x=1$ पर,फलन $f(x) = \begin{cases} x^3-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$ है

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