यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 - bx + 2, & x < 3 \\ bx^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ प्रत्येक $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,तो रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

$(x^2-5x+8) \times (x^3+7x+9)$ का अवकलन किसके द्वारा किया जा सकता है?

यदि $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ है और $x =1$ पर $x$ के सापेक्ष इसका प्रथम अवकलज $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ है,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,तो $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए.........

यदि $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ और $f(0)=0$ है, तो $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ और $f^{\prime}(0)=1$. यदि $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$,तो $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$