यदि $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ है और $x =1$ पर $x$ के सापेक्ष इसका प्रथम अवकलज $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ है,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,तो $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए.........

List-$I$ में दी गई वस्तुओं का मिलान List-$II$ की वस्तुओं से करें:

List-$I$	List-$II$
$a$. यदि $y=|x|+|x-2|$ है, तो $x=2$ पर $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. यदि $f(x)=|\cos 2x|$ है, तो $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. यदि $f(x)=\sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. यदि $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ है, तो $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. अस्तित्व नहीं है

माना $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,जहाँ $x \in R$ है। माना $S = \{\lambda \in R : \text{एक बिंदु } c \in (0, 2\pi) \text{ का अस्तित्व है जिसके लिए } f'(c) = \lambda f(c)\}$ है। तब,

मान लीजिए कि $f(x)$,$x$ में $6$ घात का एक बहुपद है,जिसमें $x^{6}$ का गुणांक $1$ है और इसके $x=-1$ तथा $x=1$ पर चरम बिंदु (extrema) हैं। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=1$ है,तो $5 \cdot f(2)$ का मान ............. है।

माना $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ जहाँ $|x| > 1$ है। यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ और $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ है,तो $y(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f: R \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $m$ में द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए दो समान मूल हैं। यदि $f(0)=1$, $f^{\prime}(0)=2$ और $(\alpha, \beta)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $g(x) = f(\log_{e}x-x)$ वर्धमान है, तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए: