माना f: R to R एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के मूल समान हैं, इसलिए इसका विविक्तकर $D=0$ है। $D = (-2f^{\prime}(x))^{

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के मूल समान हैं, इसलिए इसका विविक्तकर $D=0$ है। $D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$. इसका अर्थ है $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ प्राप्त होता है, जो $f^{\prime}(x) = c f(x)$ में सरल हो जाता है। दिया है $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$, इसलिए $2 = c(1) \Rightarrow c=2$. अतः, $f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$. पुनः समाकलन करने पर, $\ln(f(x)) = 2x + C_2$. चूँकि $f(0)=1$, इसलिए $\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$. अतः, $f(x) = e^{2x}$. अब, $g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$. $g(x)$ के वर्धमान होने के लिए, $g^{\prime}(x) \geq 0$ होना चाहिए। $g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$. चूँकि $e^{2(\ln x - x)} > 0$, इसलिए $\frac{1-x}{x} \geq 0$ होना चाहिए। यह असमिका $x \in (0, 1]$ के लिए सत्य है। अतः, अंतराल $(\alpha, \beta)$ का मान $(0, 1)$ है, जिससे $\alpha=0$ और $\beta=1$ प्राप्त होता है। इसलिए, $\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

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