$(x^2-5x+8) \times (x^3+7x+9)$ का अवकलन किसके द्वारा किया जा सकता है?

यदि $f:R \to R$ और $f(x)$ घात $10$ का एक बहुपद फलन है,जिसके $f(x)=0$ के सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं,तो समीकरण $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$ के:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^{3/5} & \text{यदि } x \le 1 \\ -(x - 2)^3 & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है। तो फलन के ग्राफ पर क्रांतिक बिंदुओं (critical points) की संख्या क्या है?

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन बाकी हर जगह $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
$f'(x)$ चिह्न चार्ट:
- $x < -5$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ से,हम कह सकते हैं कि:

मान लीजिए $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ और $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ है। यदि $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ है,तो $f(\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ पर विचार करें जो $f(x) = \begin{cases} (2 - \sin(\frac{1}{x}))|x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है