यदि f:R to R और f(x) घात 10 का एक बहुपद फलन ह | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_{10})$ जहाँ $x_1 < x_2 < \dots < x_{10}$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\l

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कोई वास्तविक मूल नहीं हैं

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_{10})$ जहाँ $x_1 दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln|f(x)| = \ln|a| + \sum_{i=1}^{10} \ln|x-x_i|$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{x-x_i}$ प्राप्त होता है।पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f''(x)f(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = -\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $\frac{(f'(x))^2 - f(x)f''(x)}{(f(x))^2} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2}$।चूँकि दाहिना पक्ष वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग है,यह सभी $x 
eq x_i$ के लिए हमेशा धनात्मक है।अतः,$(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = (f(x))^2 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2} > 0$ सभी $x 
eq x_i$ के लिए।जब $x = x_i$ हो,तब $(f'(x_i))^2 - f(x_i)f''(x_i) = (f'(x_i))^2 > 0$ क्योंकि मूल भिन्न हैं।इसलिए,व्यंजक $(f'(x))^2 - f(x)f''(x)$ हमेशा धनात्मक रहता है और इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि $f:R \to R$ और $f(x)$ घात $10$ का एक बहुपद फलन है,जिसके $f(x)=0$ के सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं,तो समीकरण $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$ के:

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समीकरण $x^2 \cdot e^{2 - |x|} = 1$ के मूलों की संख्या है

मान लीजिए $f(x) = ax^2 - b|x|$,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। तो $x = 0$ पर,$f(x)$ के पास

एक फलन $f(x) = \begin{cases} 1 + x, & x \le 2 \\ 5 - x, & x > 2 \end{cases}$ है

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