फलन $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ पर विचार करें जो $f(x) = \begin{cases} (2 - \sin(\frac{1}{x}))|x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है:

मान लीजिए $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा $y = f(x)$ के ग्राफ का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?

$f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ के लिए निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(I)$ $f$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है।
$(II)$ $f$ अंतराल $(0, 1)$ में वर्धमान है।
$(III)$ $f$ अंतराल $(1, \infty)$ में ह्रासमान है।
तो:

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन बाकी हर जगह $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
$f'(x)$ चिह्न चार्ट:
- $x < -5$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ से,हम कह सकते हैं कि:

वह बिंदु, जहाँ फलन $f(x) = \max\{6x, 2+3x^2\} + |x-1| |\cos(x^2 - 1/4)|, x \in (-\pi, \pi)$, अवकलनीय नहीं है, उनकी संख्या ———— है।