વિધેય $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ધ્યાનમાં લો જે $f(x) = \begin{cases} (2 - \sin(\frac{1}{x}))|x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ એ

ધારો કે $f:(-2,2) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $m$ અને $n$ એ $(-2,2)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $y = |f(x)|$ અસતત અને વિકલનીય ન હોય,તો $m + n$ ની કિંમત $...........$ થાય.

જો $F(x) = \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 + \left(g\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2$,જ્યાં $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ અને $g(x) = f^{\prime}(x)$,અને $F(5) = 5$ આપેલ હોય,તો $F(10)$ ની કિંમત શોધો.

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ ને $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in(0, \infty)$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ કોઈપણ નિશ્ચિત ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

જો $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ હોય, તો:

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ નું $x$ ની સાપેક્ષે $x=1$ આગળ પ્રથમ વિકલિત શું થાય?